Politics image via Shutterstock.Скоро выборы и мне вспомнился один из интересных университетских курсов, в котором, среди прочего, рассматривался аналитический подход к политике. Я расскажу об одной из пройденных тем — оценке политической силы партии во взвешенной системе голосования «да-нет».
Не бойтесь предыдущей фразы, она лишь должна была откинуть некоторое количество нерадивых читателей.
Дальше немного определений, которые можно пропустить и вернуться, если некоторые из них будут не понятны.
Взвешенная система голосования — это система голосования, в которой каждому из игроков (голосующих) можно присвоить некоторое количество голосов (вес), а также известна квота, т.е. минимальное количество голосов, необходимое для принятия решения.
Коалиция — объединение голосующих.
Выигрывающая коалиция — коалиция, голосов которой достаточно для принятия решения.
Решающий игрок — игрок, добавление голоса которого к проигрывающей коалиции делает из нее выигрывающую.
Теперь к делу!
Зачем нужно оценивать политическую силу? Приведу небольшой пример. Предположим, у нас есть обычный парламент из 100 человек, где решение принимается, если за него проголосовало больше половины депутатов, т.е. как минимум 51 легитимный представитель народа. Волею избирателей и ЦИК в парламент прошли 3 политические силы с таким количеством голосов: партия «Распил»: 50%, партия «Откат»: 49%, партия «Примат»: 1%. Путин: 101%.
Казалось бы, Распил и Откат реально рулят, а Примат — вообще никто: очевидно же, что Откат в 49 раз мощнее Примата. Пошли веселые деньки, работа закипела, но тут вдумчивый и жадный капиталист решил прикинуть кому выгоднее платить за продвижение своих интересов.
Логика была такова: коль для принятия решения нужен как минимум 51 голос, то без Распила никак не обойтись, хоть будет и Откат и Примат за тебя, а без Распила решение все равно никак не принять, т.к. Откат + Примат = 50, что меньше необходимого количества голосов. Тут однозначно, Распил в доле. А дальше все тоже очевидно — можно купить 49 голосов Отката, а можно купить 1 голос Примата — и то и то позволит преодолеть проходной барьер. Так и шо-таки выгоднее?
Но тут дело в другом, получается, в принятии решения в данном парламенте, что Откат, что Примат могут одинаково влиять на принятие решения, а значит имеют одинаковую политическую силу.
Немного изменим угол и рассмотрим более реальный пример: Европейское Экономическое сообщество в начале своего пути. Состав
Франция, Италия и Германия имели по 4 голоса, Бельгия и Нидерланды имели по два 2 голоса, у Люксембурга был один голос. Всего 17 голосов, для принятия решения требуется как минимум 12 голосов. Вроде бы все справедливо. Но Люксембург здесь ничего не решает, и вот почему: чтобы получить переломные 12 голосов из имеющихся чисел страны должны объединиться одним из следующих образов:
- все 3 страны, у которых по 4 голоса
- 2 страны по 4 голоса и 2 страны по 2 голоса
Как видим, Люксембурга в этих комбинациях нет, его голос не может сделать проигрывающую коалицию выигрывающей, следовательно, он не имеет политической силы.
Политическая сила партии «Примат» из предыдущего примера заключалась в том, что она становилась решающей в коалиции с Распилом, равно как и Откат. Т.е. решающими они были каждый только в одном случае: в коалиции с Распилом, поэтому их силы равны.
Логика — это хорошо, но как же выразить это в цифрах?
Рассмотрим 4 индекса, и, соответственно, метода расчета политической силы:
- индекс Шейпли-Шубика (The Shapley-Shubik Index, SSI);
- индекс Бенжафа (The Banzhaf Index, BI);
- индекс Джонсона (The Johnston Index, JI);
- индекс Дигана-Паккела (The Deegan—Packel Index, DPI).
Рассчитанный индекс политической силы по всем этим методам является ничем иным, как коэффициентом в диапазоне от 0 до 1, который показывает, насколько большую роль играет каждый участник в процессе голосования.
Подробное объяснение этих методов достаточно громоздкое и желающие смогут найти его в книге, приведенной мною в источниках информации. Далее я приведу лишь краткое пояснение сути и небольшой пример по каждому из озвученных методов.
Индекс Шейпли-Шубика
Индекс Шейпли-Шубика для голосующего — это отношение количества всех возможных коалиций, в которых этот голосующий является решающим к общему количеству всех возможных коалиций (т.е. в знаменателе имеем факториал).
Рассчитаем индекс Шейпли-Шубика для нашего первого примера, для чего построим все возможные коалиции, отметив в каждой решающего игрока. Для простоты обозначим Распил как «р1», Откат как «о2», Примат как «п3». Решающего игрока в каждой коалиции выделим жирным шрифтом.
- р1, о2, п3
- р1, п3, о2
- о2, р1, п3
- о2, п3, р1
- п3, р1, о2
- п3, о2, р1
Итого, Распил «р1» решает 4 раза, Откат «о2» — 1 раз и Примат «п3» — 1 раз. Эти числа будут стоять в числителе.
В знаменателе у нас количество всех возможных коалиций (а попросту — перестановок), всего голосующих 3, значит в знаменателе имеем 3! = 6.
Рассчитаем индекс для каждого голосующего:
SSI(Распил) = 4/6
SSI(Откат) = 1/6
SSI(Примат) = 1/6
Итак, мы имеем подтверждение нашего предположения о том, что Откат и Примат имеют одинаковую политическую силу. Также видно, что Распил в 4 раза сильнее каждого из них.
Расчет для большего количества голосующих несколько усложняется, ибо нам нужно определить решающего игрока в n! коалициях, но в книге приведен пример как сделать это проще и не спиться.
Индекс Бенжафа
Отличается от предыдущего тем, что для расчета используются не все коалиции, а только выигрывающие, удаление из которых данного игрока будет критичным.
Также расчет ведется через полную силу Бенжафа (Total Banzhaf power, TBP), которая затем нормализуется, чтобы получить индекс.
Расcчитаем, используя все тот же пример.
Сформируем выигрывающие коалиции:
- Распил, Откат, Примат;
- Распил, Откат;
- Распил, Примат.
Распил входит во все 3 выигрывающие коалиции и его удаление будет критичным, значит ТВР (Распил) = 3. Откат и Примат входят по два раза, но их удаление из первой коалиции не будет критичным, поэтому имеем ТВР(Откат) = 1, ТВР(Примат) = 1.
Индекс Бенжафа рассчитывается по формуле
BI(Pk) = ТВР(Pk) / (ТВР(P1) + ... + TBP (n)), где k [1; n]
И для этих игроков будет таковым:
BI(Распил) = 3 / (3 + 1 + 1) = 3/5
BI(Откат) = 1 / (3 + 1 + 1) = 1/5
BI(Примат) = 1 / (3 + 1 + 1) = 1/5
Индекс Джонсона
Озвученный индекс Бенжафа строится вокруг идеи критичности удаления игрока из выигрывающей коалиции, но он не учитывает общее количество игроков, чье удаление из этой коалиции будет критично. Ведь, если, скажем, только удаление некоторого одного игрока из выигрывающей коалиции будет критично, то его влияние значительно больше, чем если бы любой игрок в этой коалиции был бы критичным.
Вот определение индекса Джонсона:
Предположим, р — голосующий в системе голосования «да-нет», С1...Сn — выигрывающие коалиции, для которых удаление игрока р будет критично, а k1 — число игроков в коалиции С1, чье удаление будет критичным, k2 — число игроков, чье удаление критично в коалиции С2 и т.д. до kn в коалиции Cn.
Тогда полная сила Джонсона рассчитывается по формуле TJP (p) = 1/k1 + 1/k2 + ... + 1/kn
А индекс Джонсона: JI(pk) = TJP(pk) / (TJP(p1) + ... + TJP(pn))
И снова для примера воспользуемся системой Распил-Откат-Примат
Как мы помним, выигрывающие коалиции у нас следующие:
- С1: Распил, Откат, Примат;
- С2: Распил, Откат;
- С3: Распил, Примат.
Для коалиции С1 только удаление Распила будет критично, а вот для коалиций С2 и С3 критично удаление любого игрока. Поэтому:
TJP(Распил) = 1/1 +1/2 + 1/2 = 2
TJP(Откат) = 0/1 + 1/2 + 0/2 = 1/2
TJP(Примат)= 0/1 + 0/2 + 1/2
Таким образом, индекс Джонсона:
JI(Распил) = 2 / (2 + 0.5 + 0.5) = ⅔
JI(Откат) = 0.5 / (2+ 0.5 + 0.5) = ⅙
JI(Примат) = 0.5 / (2+ 0.5 + 0.5) = ⅙
Индекс Дигана-Паккела
Диган вместе с Паккелем пошли дальше Джонсона и сказали, что дело нужно иметь только с минимально выигрывающими коалициями.
Итак, определение: предположим, р — голосующий в системе голосования «да-нет», С1...Сn — минимально выигрывающие коалиции, в которых находится р, а k1 — число игроков в коалиции С1, k2 — число игроков С2 и т.д. до kn в коалиции Cn.
Тогда полная сила Дигана-Паккела рассчитывается по формуле TDPP (p) = 1/k1 + 1/k2 + ... + 1/kn
А индекс Дигана-Паккела: DPI (pk) = DPI(pk) / (DPI(p1) + ... + DPI(pn))
В нашей Распил-Откат-Примат системе имеем следующее:
Минимально выигрывающие коалиции:
- С2: Распил, Откат
- С3: Распил, Примат
Итак,
TDPP (Распил) = ½ + ½ = 1
TDPP (Откат) = ½ + 0/2 = ½
TDPP (Примат) = 0 /2 + ½= ½
Следовательно, индекс Дигана-Паккела:
DPI(Распил) = 1 / (1 + 0.5 + 0.5) = ½
DPI(Откат) = 0.5 / (1+ 0.5+0.5) = 1/4
DPI(Примат) = 0.5 / (1+ 0.5+0.5) = ¼
Заключение
Как видим, результаты подсчета отличаются в зависимости от метода. Это связано с тем, что они по разному оценивают степень влияния различных параметров. Так, индекс Шейпли-Шубика и Джонсона завышает влияние сильных партий, т.к. приписывает больший вес коалициям с одной решающей партией. В то же время, индекс Дигана-Паккела занижает степень влияния больших партий, т.к. по мнению авторов формирование каждой выигрывающей коалицией основано на некоторой ожидаемом выгоде, которая потом может быть разделена между участниками коалиции, поэтому формировать большие коалиции не имеет смысла. Гугл говорит, что наиболее согласованные результаты дают индексы Бенжафа и Шейпли-Шубика, а индекс Дигана-Паккела лучше применять там, где чаще реализуются именно минимально выигрывающие коалиции.
Рассмотренные методы являются классическими. Они описывают идеальный мир, в котором все коалиции равновероятны, партия голосует как один человек, депутаты не берут взяток и не перебегают из одной стороны на другую. Для более реального отображения ситуации были придуманы другие подходы, например подход Алескерова, где учитывается сила связи между голосующими, согласованность их действий и прочий матан. Но оставим это в качестве домашней работы заинтересовавшимся.
Источники информации
Для изучения университетского курса была предложена книга Mathematics and Politics: Strategy, Voting, Power, and Proof , Alan D. Taylor, Allison M. Pacelli
Она и послужила базовым источником информации.
P.S.
Моей личной целью написания этой статьи было желание повысить осведомленность широкой аудитории и показать, что влияние партии на принятие решения может напрямую не зависеть от количества ее депутатов в парламенте. А еще этот пост будет хорошей отмазкой, чтобы в пятницу читать ДОУ и смотреть котиков, только не говорите об этом моему РМу.